狄利克雷收敛定理

根据是收敛定理,也称狄里克雷收敛定理;定理结论是:在f(x)的连续点x处,级数收敛到f(x);在f(x)的间断点x处,级数收敛到(f(x+0)+f(x-0))/2。

狄利克雷级数是什么

狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。狄利克雷级数的名称来源于数学家约翰·彼得·狄利克雷。

狄利克雷函数的基本性质和分析性质

基本性质

1、定义域为整个实数域R

2、值域为{0,1}

3、函数为偶函数

4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在

5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期(由实数的连续统理论可知其无最小正周期)

分析性质

1、处处不连续

2、处处不可导

3、在任何区间内黎曼不可积

4、函数是可测函数

5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0(且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上(区间不论开闭和是否有限)上的勒贝格积分值为0)

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件(说明中Q为有理数集)