一元二次不等式的定义和解法

一、一元二次不等式的定义和解法

1、定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式

$ax^2$+$bx$+$c$>0（$a$>0）或$ax^2$+$bx$+$c$<0（$a$>0），任何一个一元二次不等式都可以整理成此形式。

3、一元二次不等式的解法

（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；

（2）计算判别式$\mathit\Delta$；

（3）当$\mathit\Delta\geqslant0$时，求出相应的一元二次方程的根；

（4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集。

4、二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的解

当$\mathit\Delta>0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$有两个不同的实根（设为$x_1,x_2$且$x_1<x_2$），此时$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集为$\{ x>x_1$或$x>x_2$\}；

当$\mathit\Delta=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$有两个相等的实根（设为$x_1=x_2$，且$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$），此时$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集为$\begin{Bmatrix} x\Big|x≠-\frac{b}{2a} \end{Bmatrix}$；

当$\mathit\Delta<0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$无实根，此时$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集为$\mathbf{R}$。

二、一元二次不等式的概念的相关例题

一元二次不等式($x$+2)($5$-$x$)>0的解集为___

A．${ x|x<-2$或$x>5}$

B．${x|x<-5$或$x>2}$

C．${x|-2<x<5}$

D．${x|-5<x<2}$

答案：C

解析：原一元二次不等式化为($x$+2)($x$-5)<0，解得-2<$x$<5，所以不等式的解集为${x|-2<x<5}$。故选C。