直线的倾斜角和斜率

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

当直线$l$与$x$轴相交时，我们取$x$轴作为基准，$x$轴正向与直线$l$向上方向之间所成的角$α$叫做直线$l$的倾斜角。

当直线$l$与$x$轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为$0°$。因此，直线的倾斜角$α$的取值范围为$0°\leqslant α<180°$。

2、直线的斜率

把一条直线的倾斜角$α$的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母$k$表示，即$k=\tan α(0°\leqslant α<180°，α≠90°)$。

（1）倾斜角是$90°$的直线没有斜率。

（2）倾斜角$α$不是$90°$的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同。

3、直线的斜率公式

经过两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)(x_1≠x_2)$的直线斜率公式为$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$=$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$=$\tan α(α≠90°)$。

（1）当直线平行于$y$轴或与$y$轴重合时，此公式不成立。

（2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换。

4、斜率与倾斜角的关系

斜率等于0时，倾斜角为零度角，此时直线平行于$x$轴或与$x$轴重合。

斜率大于0时，倾斜角为锐角，此时直线的斜率$k$随着倾斜角的增大而增大。

斜率小于0时，倾斜角为钝角，此时直线的斜率$k$随着倾斜角的增大而增大。

斜率不存在时，倾斜角为直角，此时直线平行于$y$轴或与$y$轴重合。

注：斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大，直线的倾斜角越接近$90°$，它的取值范围是$（-∞，+∞）$。

二、直线的倾斜角的相关例题

下列说法中，正确的是

A．若直线的倾斜角为$α$，则此直线的斜率为$\tan α$

B．若直直线的斜率为$\tan α$，则此直线的倾斜角为$α$

C．若直线的倾斜角为$α$，则$\sin α>0$

D．任意直线都有倾斜角$α$，且$α≠90°$时，斜率为$\tan α$

答案：D

解析：对于A，当$α$=90°时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，虽然直线的斜率为$\tan α$，但只有$0°\leqslant α<180°$时，$α$才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线与$x$轴平行或重合时，$α$=0°，$\sin α$=0 , 故C不正确；根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，可判断D正确；故选：D。