标准差的定义和公式

一、标准差的定义和公式

1、标准差

标准差是方差的算术平方根，用$σ$表示。标准差也被称为标准偏差。

标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精确度的重要指标。

2、标准差公式

$S=\sqrt{\frac{1}{n}\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]}$。

3、方差：设有$n$个数据$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$，$(x_2-\overline{x})^2$，$\cdots$，$(x_n-\overline{x})^2$， 我们用这些值的平均数，即用$\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$。

4、方差公式

$s^2=\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$。

5、标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的。但在解决实际问题中，一般多采用标准差。

二、标准差的相关例题

数据5，7， 7，8， 10， 11的中位数和标准差分别为

A．中位数为7 ，标准差为2

B．中位数为7 ，标准差为4

C．中位数为7.5 ，标准差为4

D．中位数为7.5 ，标准差为2

答案：D

解析：数据按顺序排列5， 7 ， 7，8， 10， 11 ，所以中位数是$\frac{7+8}{2}=7.5$，平均数是$\overline{x}$=$\frac{1}{6}×$(5+7+7+8+10+11)=8，标准差$s$=$\sqrt{\frac{1}{6}\left[ (5-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2 +(8-8)^2+(10-8)^2+(11-8)^2 \right]}$=2。故选：D