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矩阵的秩和特征值有什么关系

2024-04-08 13:22:48文/崔欢

矩阵的特征值与秩的关系:如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不定成立。

矩阵的秩和特征值有什么关系

矩阵的秩和特征值的关系

矩阵的秩和特征值之间存在密切的关系,具体如下:

如果一个矩阵可以对角化,那么它的非零特征值的个数就等于矩阵的秩。

如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立。

方阵A不满秩等价于A有零特征值。

A的秩不小于A的非零特征值的个数。

在实际应用中,特征值和秩的关系可以用来解决许多问题。例如,在机器学习中,我们经常需要对数据进行降维,即把高维数据降低到低维空间中。这时,我们可以使用矩阵的秩来计算数据的维度,并使用特征值来计算数据的非线性变换。

特征值与秩的相关定理

定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2:设A为n阶实对称矩阵,则A必能相似对角化。

定理3:设A为n阶实对称矩阵,矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数),则λ=0恰为A的n-k重特征值。

定理4:设A为n阶方阵,矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数),则λ=0至少为A的n-k的重特征值。

定理5:设A为n阶方阵,矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数),且A可相似对角化,则λ=0恰为A的n-k重特征值。

定理6:设A为n阶方阵,矩阵的秩rf(A)=k,(0<k<n,k为正整数),且A可对角化,则λ=0恰为f(A)的n-k重特征值。

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