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二阶偏导数怎么求

2023-04-10 10:38:03文/张哲

利用关于x的偏导数表达式,先求得函数的一阶导数;令等式中的一阶导数等于0,代入函数表达式求出函数的极值点x0;以等式中的一阶导数为自变量,用函数表达式传递一阶导数对x的导数,从而求得函数的二阶导数;将极值点x0代入求得的二阶导数的表达式,求出位于极值点的函数的二阶偏导数。

二阶偏导数怎么求

二阶偏导数的求法是什么

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数。

把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

二阶偏导数性质

一、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。

几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

二、设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么:

1、若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;

2、若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

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