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怎样证明线面平行

2020-08-13 14:18:16文/刘思琪

利用定义:证明直线与平面无公共点;利用判定定理:从直线与直线平行得到直线与平面平行;利用面面平行的性质:两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个平面。线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

怎样证明线面平行

线面平行证明过程

定理1:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。已知:a∥b,a⊄α,b⊂α,求证:a∥α反证法证明:假设a与α不平行,则它们相交,设交点为A,那么A∈α∵a∥b,∴A不在b上在α内过A作c∥b,则a∩c=A又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,与a∩c=A矛盾。∴假设不成立,a∥α向量法证明:设a的方向向量为a,b的方向向量为b,面α的法向量为p。∵b⊂α∴b⊥p,即p·b=0∵a∥b,由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0,即a⊥p∴a∥α。

定理2:平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求证:a∥α证明:设a与b的垂足为A,b与α的垂足为B。 假设a与α不平行,那么它们相交,设a∩α=C,连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面,因此ABC首尾相连得到△ABC∵B∈α,C∈α,b⊥α∴b⊥BC,即∠ABC=90°∵a⊥b,即∠BAC=90°∴在△ABC中,有两个内角为90°,这是不可能的事情。∴假设不成立,a∥α。

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