一元二次方程根的分布和判别式的应用
2021-03-12 15:49:37文/陈宇航一、一元二次方程根的分布和判别式的应用
1、一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系数时,只需将方程的根代入原方程,再解关于待定系数的方程。
2、一元二次方程根的个数与根的分布
一般地,式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的根的判别式,通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示,即$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。
(1)当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$时,一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个不相等的实数根。即$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
(2)当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac=0$时,一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个相等的实数根。即$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。
(3)当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac<0$时,一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$无实数根。
3、一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:
不解方程,由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。
根据方程根的情况,确定方程中字母系数的取值范围。
应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根)。
4、一元二次方程的根与系数的关系
当$b^2-4ac\geqslant 0$时,一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个实数根$x_1$,$x_2$,且满足求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,则有$x_1+$$x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。
即$x_1$,$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
二、一元二次方程根的分布的相关例题
已知$x_1$,$x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个实数根,则$x_1·x_2$等于___
A.$-4$ B.$-1$ C.1 D.4
答案:C
解析:直接根据根与系数的关系求解得$x_1·x_2=$$\frac{c}{a}=1$。
- 同类项的定义和合并同类项
一、同类项的定义和合并同类项1、同类项所含字母相同...
2021-03-12 - 图形的剪拼的定义和意义
一、图形的剪拼的定义和意义1、图形的剪拼把一个几何...
2021-03-12 - 完全平方公式的定义和常见变形
一、完全平方公式的定义和常见变形1、完全平方公式$...
2021-03-12 - 完全平方式的定义和特点
一、完全平方式的定义和特点1、完全平方公式$(a+...
2021-03-12 - 完全平方数的定义和性质
一、完全平方数的定义和性质1、完全平方数完全平方即...
2021-03-12 - 位似变换的坐标和性质
一、位似变换的坐标和性质1、位似图形两个多边形不仅...
2021-03-12 - 无理方程的定义和一般解法
一、无理方程的定义和一般解法1、无理方程无理方程就...
2021-03-12 - 有理方程和整式方程的定义
一、有理方程和整式方程的定义1、有理方程分式方程和...
2021-03-12 - 无理数的概念和常见的无理数
一、无理数的概念和常见的无理数1、无理数的概念无线...
2021-03-12 - 弦切角定理和圆周角定理
一、弦切角定理和圆周角定理1、弦切角顶点在圆上,一...
2021-03-12 - 线段垂直平分线的性质和判定
一、线段垂直平分线的性质和判定1、线段的垂直平分线...
2021-03-12 - 线段的和差及性质
一、线段的和差及性质1、尺规作图:线段的和用直尺画...
2021-03-12 - 线段的性质和两点间的距离
一、线段的性质和两点间的距离1、两点间的距离连接两...
2021-03-12 - 相反数的概念和几何意义
一、相反数的概念和几何意义1、相反数的概念像2和-...
2021-03-12 - 相交两圆的性质和概念
一、相交两圆的性质和概念设两圆的半径分别为$r_1...
2021-03-12
点击查看 数学知识点 更多内容