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完全平方数的定义和性质

2021-03-12 16:52:38文/陈宇航

完全平方数的定义和性质

一、完全平方数的定义和性质

1、完全平方数

完全平方即用一个整数乘以自己例如$11$,$22$,$3*3$等等,依此类推。

若一个数能表示成某个数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

2、完全平方数的性质

性质1:平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9。

性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。

性质4:凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

性质5:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

性质6:奇数的平方是8$n$+1型;偶数的平方为8$n$或8$n$+4型。

性质7:平方数的形式必为下列两种之一:3$n$,3$n$+1。

性质8:不能被5整除的数的平方为5$n$±1型,能被5整除的数的平方为5$n$型。

性质9:平方数的形式具有下列形式之一:16$n$,16$n$+1,16$n$+4,16$n$+9。

性质10:$a^2b$为完全平方数的充要条件是$b$为完全平方数。

性质11:如果质数$p$能整除$a$,但$p^2$不能整除$a$,则$a$不是完全平方数。

性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若$n^2<k$$<(n+1)^2$,则$k$一定不是完全平方数。

性质13:一个正整数$n$是完全平方数的充分必要条件是$n$有奇数个因子(包括1和$n$本身)。

二、完全平方数的相关例题

使得3$^n$+81是完全平方数的正整数$n$有___个。

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:B

解析:当$n\leqslant4$时,易知3$^n$+81不是完全平方数,故设$n=$$k+4$$(k∈\mathbf{N}^*)$。则3$^n$+81=81(3$^k$+1)。因为3$^n$+81是完全平方数,而81是平方数,所以,一定存在正整数$x$,使得3$^k$+1=$x^2$,即$3^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$。故$x+1$、$x-1$都是3的方幂。又两个数$x+1$、$x-1$相差2,则只可能是3和1。从而,$x=2$,$k=1$。因此,存在唯一的正整数$n=k$+4=5, 使得3$^n$+81为完全平方数。故答案为B。

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