1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.....的通项公式是什么?

    邵政2017/7/15 8:41:35阅读177次数学

    1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.....的通项公式是什么?

  • 钱亚东浙江省 余姚市2017/7/15 9:07:05

    答:裴波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,。。。
    裴波那契数列递推公式:F(n+2) = F(n+1) + F(n)
    F(1)=F(2)=1。
    它的通项求解如下:
    F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0
    令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
    展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
    显然 a+b=1 ab=-1
    由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根
    解得 a = (1 + √5)/2,b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2,b = (1 + √5)/2
    令G(n) = F(n+1) - aF(n),则G(n+1) = bG(n),且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b,因此G(n)为等比数列,G(n) = b^n ,即
    F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1)
    在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入,由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2,y = (1 -√5)/2,得到:
    F(n+1) - xF(n) = y^n
    F(n+1) - yF(n) = x^n
    以上两式相减得:
    (x-y)F(n) = x^n - y^n
    F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

    0 0
  • 赵文超吉林省 长春市2017/7/15 9:07:05

    blob.png

    0 0
    你尚未登录高三网,不能进行回复

    请先登录注册