反函数的导数

反函数的导数等于直接函数导数的倒数，反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。如：原函数是x=siny，则：反函数为y=arcsinx；反函数的导数为：（arcsin x)'=1/x'or1/(sin y)'。

反函数求导要注意什么

1、只有严格单调的可导函数，反函数才可导。事实上，不是严格单调的函数，它的反函数并不是单值映射的函数。

2、原函数的导数不等于0，否则反函数的导数没有意义。

3、一定要考虑反函数的定义域，它是原函数的值域，而不是原函数的定义域。

4、要应用定义求反函数的导函数时，一定要把原函数的解析式代入导函数中，而不是简单的更改变量的符号。这一点很多人容易忽略，所以千万要注意了。

例：求arctanx的导数：

解：y=arctanx, x∈R是x=tany, y∈(-π/2, π/2)的反函数，

因为(tany)'=(secy)^2，根据反函数的导数定义可知：

(arctanx)'=1/(tany)'=1/(secy)^2=1/(1+(tany)^2).

将x=tany代入上式，得：(arctanx)'=1/(1+x^2)，x∈R.

注意到没有，在直接运用反函数的导数定义时，自变量是y，不是x，如果直接把y换成x，就会得到错误的结果。正确的做法是将原函数的解析式代入运用定义后的式子，才能转化出反函数的真正导函数。

反函数的性质有哪些

1、互为反函数的两个函数的图象关于直线y等于x对称；

2、函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；

3、一个函数与其对应的反函数在相应区间上单调性一致；

4、偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数；

5、一切隐函数具有反函数；

6、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。