平面方程怎么求
2020-03-30 12:04:30文/叶丹已知两点和一个向量都在同一个平面上,两点可以组成一个向量。这两点组成的向量能求出来,同时还已知直线的方向向量,所以通过求法线就可以得到平面方程。
已知点和直线求平面方程
任取直线上一点,与直线外已知点构成向量,显然该向量位于平面内;
然后根据直线方程得到直线方向向量,同理这一直线方向向量亦位于平面内。将两向量叉积就能得到垂直于待求平面的法向量,最后根据法向量和任一点坐标写出平面的点法式方程。
如果不能直接看出直线的方向向量,可以在直线上再选一点,构成的向量就是直线的方向向量。
平面方程类型
一、截距式
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0,取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程:x/a+y/b+z/c=1。
它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),其中,a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
二、点法式
n为平面的法向量,n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点,则有n·MM'=0,MM'=(x-x0,y-y0,z-z0),从而得平面的点法式方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
三点求平面可以取向量积为法线。
任一三元一次方程的图形总是一个平面,其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。
两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0。
两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。
点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2)。求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。
三、一般式
Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C,D为已知常数,并且A,B,C不同时为零。
四、法线式
xcosα+ycosβ+zcosγ=p,其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦,p为原点到平面的距离。
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