向量叉乘的几何意义

2020-01-17 13:14:55文/叶丹

几何意义：叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c，可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

向量叉乘的几何意义

向量积（矢积）与数量积（标积）的区别

名称	标积/内积/数量积/点积	矢积/外积/向量积/叉积
运算式（a，b和c粗体字，表示向量）	a·b=\|a\|\|b\|·cosθ	a×b=c，其中\|c\|=\|a\|\|b\|·sinθ，c的方向遵守右手定则
几何意义	向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积	c是垂直a、b所在平面，且以\|b\|·sinθ为高、\|a\|为底的平行四边形的面积
运算结果的区别	标量（常用于物理）/数量（常用于数学）	矢量（常用于物理）/向量（常用于数学）

叉乘几何意义及用途

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

常用于以下情况：

通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系；

当a是单位向量时，计算b终点到a所在直线的距离；

在二维空间中，aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

推荐阅读