极坐标与参数方程公式

极坐标与参数方程公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x，x²+y²=ρ²。

坐标系与参数方程公式

x=ρcosθ，y=ρsinθ

tanθ=y/x,x²+y²=ρ²

有些曲线的方程在直角坐标里面不太好处理，于是我们把它换在极坐标中处理。

例如经过上面式子的变换：

以原点为圆心的圆的方程：ρ=R

双曲线，椭圆，抛物线的极坐标统一形式：ρ=eP/（1-ecosθ），P为焦准距，e为离心率。

常见参数方程

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）=ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

圆

在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为

ρ=2rcos（θ-φ）

另：圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为:

(ρ')²+ρ²-2ρρ'cos(θ-θ')=r²

根据余弦定理可推得。

直线

经过极点的射线由如下方程表示

θ=φ，

其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ=φ垂直，其方程为r′（θ）=r′sec（θ-φ）。

玫瑰线

极坐标的玫瑰线是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

r（θ）=acoskθ

或r（θ）=asinkθ，

如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

右图为方程r（θ）=θfor0<θ<6π的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

圆锥曲线方程如下：r=ep/(1+ecosθ)

其中l表示半径，e表示离心率。如果e<1，曲线为椭圆，如果e=1，曲线为抛物线，如果e>1，则表示双曲线。

或者r=ep/(1-ecosθ)

其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡儿坐标系）简单得多。比如双纽线，心脏线。