绝对值不等式的解法

在解决绝对值不等式的问题时,关键在于消除式子中的绝对值符号。针对绝对值不等式,存在几种解法,包括几何意义法、讨论法、平方法以及函数图像法。

绝对值不等式的几种解法

（一）几何意义法

以求解不等式|x|＜1的解集为例,该不等式的解集代表所有距离原点小于1的点的集合,因此,解集为{x|-1＜x＜1}。

（二）讨论法

同样以求解不等式|x|＜1的解集为例,

①当x≥0时,原不等式可简化为x＜1,得到解集0≤x＜1。

②当x＜0时,原不等式可转化为-x＜1,得到解集-1＜x＜0。

综合两种情况,不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（三）平方法

以求解不等式|x|＜1的解集为例,将原不等式的两边平方,得到x²＜1,即x²-1＜0,进一步化简为（x+1）（x-1）＜0,解得-1＜x＜1,因此,不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（四）函数图像法

以求解不等式|x|＜1的解集为例,从函数的角度看,该不等式的解集表示函数y=|x|的图像在y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围,因此,解集为{x|-1＜x＜1}。

绝对值不等式的性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离,称为数a的绝对值。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

以下是两个重要的性质：

1、|ab|=|a||b|,|a/b|=|a|/|b|（b≠0）

2、|a|<|b|可逆推出|b|>|a|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时左边等号成立,ab≥0时右边等号成立。

此外,还有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|,| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|。