绝对值不等式公式四个

绝对值定义为数轴上某点至原点的距离,用符号“| |”表示。|b-a|或|a-b|则代表数轴上a点与b点之间的距离。绝对值不等式的基本公式表达为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

数a的绝对值,即|a|,指的是数轴上a点到原点的距离。

同样,|b-a|或|a-b|描述的是数轴上a点与b点之间的距离。

当a和b同号时,它们位于数轴原点的同一侧,此时a与-b的距离等于它们各自到原点的距离之和。

若a和b异号,则它们分别位于数轴原点的两侧,此时a与-b的距离小于它们到原点的距离之和。（|a-b|既表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离）。

绝对值重要不等式的推导过程：

已知|x|的定义为：x,(x>0)；0,(x=0)；-x,(x<0)。

由此可得以下不等式：

-|a|≤a≤|a|......①

-|b|≤b≤|b|......②

-|b|≤-b≤|b|......③

结合①和②,我们得到：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,

即|a+b|≤|a|+|b|......④

结合①和③,可以推导出：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|,

即|a-b|≤|a|+|b|......⑤

另外,我们有：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|,

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|。

根据④,我们可以进一步得到：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|,从而|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|,从而|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|,从而|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|,从而|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥和⑦,我们可以得出：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑧和⑨,我们可以得出：

| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪

综合④⑤⑩⑪,我们得到关于绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

需要注意的是,等号成立的条件（尤其在求最值时）为：

|a-b|=|a|+|b|,当且仅当ab≤0,

|a|-|b|=|a+b|,当且仅当b(a+b)≤0,

|a|-|b|=|a-b|,当且仅当b(a-b)≥0。

注：|a|-|b|=|a+b|可推导为|a|=|a+b|+|b|,进一步得到|（a+b）-b|=|a+b|+|b|,从而b(a+b)≤0。

同理,|a|-|b|=|a-b|可推导为b(a-b)≥0。