线面垂直的判定定理

当一条直线与平面内的任意直线均保持垂直状态,我们称这条直线与该平面互相垂直。依据判定定理：若一条直线同时垂直于平面内的两条相交直线,则该直线必然垂直于整个平面。

观察图示,直线l同时垂直于平面α内的两条相交直线a与b,现需证明：l⊥α。

证明：鉴于与a或b平行的直线必然垂直于l,故后续讨论聚焦于那些与a,b均不平行的直线。

首先,将直线a,b以及l平移,使它们相交于同一点O。接着,通过点O绘制任意直线g,并在g上选取一个异于O的点G。然后,过点G分别作GB∥a交b于点B,以及GA∥b交a于点A。连接线段AB,并设AB与OG的交点为C。

由于OA∥GB且OB∥GA,因此四边形OAGB构成平行四边形,从而C为AB的中点。

依据中线定理,我们有OA²+OB²=2OC²+2AC²。在直线l上选取一个异于O的点D,连接DA和DB,再次应用中线定理得到DA²+DB²=2DC²+2AC²。

将两式相减,我们得到DA²-OA²+DB²-OB²=2DC²-2OC²。同时,注意到OD⊥OA且OD⊥OB,因此可以推导出OD²+OD²=2DC²-2OC²,即CD²=OD²+OC²。

由此可得OD⊥OC。由于直线g的选取是任意的,因此直线l与平面α内的任意直线都垂直。

综上所述,我们证明了l⊥α。