空集的概念和子集的概念

一、空集的概念和子集的概念

1、子集：一般地，对于两个集合$A$，$B$，如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合$A$为集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$），读作“$A$含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。

2、真子集：如果集合$A\subseteq B$，但存在元素，$x∈B$，且$x\notin A$，我们称集合$A$是集合$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq, A$）。

3、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集，任何一个集合是它本身的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等：如果集合$A$是集合$B$的子集（$A\subseteq B$），且集合$B$是集合$A$的子集（$B\subseteq A$），此时，集合$A$与集合$B$中的元素是一样的，因此，集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。

5、集合子集的个数

（1）若集合$A$中有$n$个元素，则集合$A$有$2^n$个子集，$2^n-1$个真子集，$2^n-1$个非空子集，$2^n-2$个非空真子集。

（2）若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素，集合$C$含有$m（m≥1）$个元素$（m≥n）$，且$A\subseteq B\subseteq C$，则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、空集的相关例题

若不等式组$\begin{cases}x-1>a^2\\x-4<2a\end{cases}$的解集非空，则实数$a$的取值范围是___

A．$(-1,3)$

B．$(-∞,-1)∪(3, +∞)$

C．$(-3,1) $

D．$(-∞,-3)∪(1+∞)$

答案：A

解析：由题意$\begin{cases}x>a^2+1，\\x<2a+4，\end{cases}$$∴a^2+1<2a+4$，即$a^2-2a-3<0$，解得$-1<a<3$。故选A。