非线性回归的定义和方程
2021-02-24 16:51:14文/陈宇航一、非线性回归的定义和方程
1、非线性回归
非线性回归是回归函数关于未知回归系数具有非线性结构的回归。常用的处理方法有回归函数的线性迭代法、分段回归法、迭代等。
非线性回归分析的主要内容与线性回归分析相似。
2、回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
其基本步骤是:
(1)画散点图;(2)求回归直线方程;(3)用回归直线方程作预报。
3、回归直线
如果具有相关关系的两个变量的一组数据$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$\cdots$,$(x_n,y_n)$大致分布在一条直线附近,那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系,这条直线就是回归直线,记为$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$。
4、回归直线方程的求法——最小二乘法
设具有线性相关关系的两个变量$x$,$y$的一组观察值为$(x_i,y_i)$$(i=1,2,\cdots,n)$,则回归直线方程$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$的系数为$\widehat{b}=$$\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(x_i-\overline{x})^2}=$$\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x^2_i-n\overline{x}^2}$,$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$,其中$(x_i,y_i)$为样本数据,$\overline{x}=$$\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x_i$,$\overline{y}=$$\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}y_i$为样本平均数。
注:1、$(\overline{x},\overline{y})$称为样本点的中心,回归直线$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$一定经过样本点的中心$(\overline{x},\overline{y})$。2、当回归直线的斜率$\widehat{b}>0$时,为线性正相关,当$\widehat{b}<0$时,为线性负相关。3、回归直线方程$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$中的$\widehat{y}$是为了与$y$的实际值区别。
二、非线性回归的相关例题
已知线性回归直线的斜率的估计值是1.05,样本中心点为$(4,5)$。则线性回归直线是___
A.$y=1.05x+4$
B.$y=1.05x+0.8$
C.$y=1.05x+1.05$
D.$y=1.05x-0.8$
答案:B
解析:线性回归直线的斜率估计值是1.05,设线性回归直线方程是$\widehat{y}=1.05x+b$,由回归直线经过样本中心点$(4,5)$。将$(4,5)$代入线性回归直线方程$\widehat{y}=1.05x+b$得$b=0.8$。则$\widehat{y}=1.05x+0.8$。故选B。
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