孙帅涛贵州省 都匀市2018/3/28 8:08:26三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
六种基本函数函数名:正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
同角三角函数(函数关系拓展)
(1)平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
(2)积的关系:
sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα
(3)倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
恒等变形公式
两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
0 0 朱亚迪青海省 德令哈市2018/3/28 8:08:26正弦函数:
正弦(sine),数学术语,在直角三角形中,任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA(由英语sine一词简写得来),即sinA=∠A的对边/斜边。古代说法,正弦是股与弦的比例。
正弦=股长/弦长
勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。把直角三角形的弦放在直径上,股就是∠A所对的弦,即正弦,勾就是余下的弦——余弦。
按现代说法,正弦是直角三角形的对边与斜边之比。现代正弦公式是sin=直角三角形的对边比斜边。
如斜边为r,对边为y,邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r
无论a,y,r为何值,正弦值恒大于等于0小于等于1,即0≤sin≤1.
余弦函数:
角A的邻边比斜边叫做角A的余弦,记作cosA(由余弦英文cosine简写得来),即cosA=角A的邻边/斜边(直角三角形)。记作cos=x/r。
余弦函数的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。它是周期函数,其最小正周期为2π。在自变量为2kπ(k为整数)时,该函数有极大值1;
在自变量为(2k+1)π时,该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数,其图像关于y轴对称。
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即在余弦定理中令C=90°,这时cosC=0,所以c²=a²+b²。
(1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角;
(2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边;
(3)已知三角形两边及其一边对角,可求其它的角和第三条边。
正切函数:
在平面三角形中,正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
正切定理:(a+b)/(a-b)=tan((α+β)/2)/tan((α-β)/2),正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值。
余切函数:
在直角三角形中,某锐角的相邻直角边和相对直角边的比,叫做该锐角的余切。余切与正切互为倒数,用“cot+角度”表示。
任意角终边上除顶点外的任一点的横坐标除以该点的非零纵坐标,角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,而该角的始边则与正x轴重合。简单点理解:直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比,叫做该锐角的余切。
余切表示时用“cot+角度”,如:30°的余切表示为cot30°;角A的余切表示为cotA。旧用ctgA来表示余切,和cotA是一样的。假设∠A的对边为a、邻边为b,那么:cotA=b/a(即邻边比对边)。
正割函数:
正割指的是直角三角形,斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割,用 sec(角)表示。正割是余弦函数的倒数。
正割的数学符号为sec,出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用。
正割是三角函数的正函数(正弦、正切、正割、正矢)之一,所以2kπ在到2kπ+(π/2)的区间之间,函数是递增的,另外正割函数和余弦函数互为倒数。
在单位圆上,正割函数位于割线上,因此将此函数命名为正割函数。和其他三角函数一样,正割函数一样可以扩展到复数。
余割函数:
余割为一个角的顶点和该角终边上另一个任意点之间的距离除以该任意点的非零纵坐标所得之商,这个角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,而其始边则与正X轴重合。
在直角三角形中,斜边与某个锐角的对边的比值叫做该锐角的余割。记作cscx。余割与正弦的比值表达式互为倒数。余割函数为奇函数,且为周期函数。余割函数记为:y=cscx。
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