斐波那契数列的定义和通项公式

一、斐波那契数列的定义和通项公式

1、定义

斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、$\cdots\cdots$这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

2、通项公式

$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$

3、特性

（1）从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，$\cdots\cdots$），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。

（2）斐波那契数列的第$n+2$项同时也代表了集合${1,2,\cdots,n}$中所有不包含相邻正整数的子集个数。

（3）奇数项求和

$a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots+a_{2n-1}=a_{2n}$。

（4）偶数项求和

$a_2+a_4+a_6+a_8+\cdots+a_{2n}=a_{2n+1}-1$。

（5）平方求和

$a^2_1+a^2_2+a^2_3+a^2_4+\cdots+a^2_n=a_n·a_{n+1}$。

（6）隔项关系

$a_{2n-2m-2}(a_{2n}+a_{2n+2})=a_{2m+2}+a_{4n-2m}$$(n>m\geqslant-1,n\geqslant1)$。

（7）两倍项关系

$\frac{a_{2n}}{a_n}=a_{n-1}+a_{n+1}$。

（8）其他公式

$a_{n-1}·a_{n+1}-a^2_n=(-1)^n$。

二、斐波那契数列的相关例题

科学发现：植物的花瓣、萼片，果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，$\cdots$仔细观察以上数列，则它的第12个数应该是___

答案：144

解析：因为数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，$\cdots$所以$a_n=a{n-1}+a{n-2}$，（$n\geqslant3$）第11个数是34+55=89，第12个数是55+89=144，故答案为144。