椭圆通径公式
2019-12-12 09:16:24文/董月圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度,所以把椭圆方程中的x代成c,就可得:就可得y1=b²/a,y2=-b^/a,所以通径的长度就是y1-y2=2b²/a,其中b²表示b的平方。
推导过程
证明:
设椭圆x²/a²+y²/b²=1,焦点(c,0),(-c,0),且c²=a²-b²
令x=c或-c,c²/a²+y²/b²=1
∴y²/b²=1-c²/a²=1-(a²-b²)/a²=b²/a²
∴y²=b²×b²/a²,y=b²/a或-b²/a
即通径两端点为(c,b²/a)(c,-b²/a),或者(-c,b²/a)(-c,-b²/a)
∴通径长=b²/a-(-b²/a)=2b²/a
椭圆通径长定理
椭圆通径长定理,指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。
椭圆的常见问题以及解法
例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用第一定义):
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点
用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆。
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