判断收敛和发散技巧
2019-11-18 09:48:33文/董月简单来说,有极限(极限不为无穷)就是收敛,没有极限(极限为无穷)就是发散。例如:f(x)=1/x,当x趋于无穷是极限为0,所以收敛。f(x)=x,当x趋于无穷是极限为无穷,即没有极限,所以发散。
含义
数列发散和数列收敛是相对的。收敛的意思是这样的:当数列an满足n→无穷,an→一定值。严格定义用到了ε-N语言,如果一个数列不满足这个条件,就是发散。
判断方法
步骤
(一)首先,拿到一个数项级数,我们先判断其是否满足收敛的必要条件:
若数项级数收敛,则n→+∞时,级数的一般项收敛于零。
(该必要条件一般用于验证级数发散,即一般项不收敛于零。)
(二)若满足其必要性。接下来,我们判断级数是否为正项级数:
若级数为正项级数,则我们可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛。(注:这三个判别法的前提必须是正项级数。)
(三)若不是正项级数,则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数:
(四)若不是交错级数,我们可以再来判断其是否为绝对收敛的级数:
(五)如果既不是交错级数又不是正项级数,则对于这样的一般级数,我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。
三种判别法
1.比较原则;
2.比式判别法,(适用于含n!的级数);
3.根式判别法,(适用于含n次方的级数);
(注:一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法)
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