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向量垂直公式

2019-05-09 17:18:16文/董玉莹

向量垂直公式:x1*x2+y1*y2=0和|A|*|B|*cos(A与B的夹角)=0。

向量垂直公式.jpg

垂直公式

a,b是两个向量

a=(a1,a2) b=(b1,b2)

a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数

a垂直b:a1b1+a2b2=0

证明:

①几何角度:

向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)

(x1,y1)到(x2,y2)的距离:D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

两个向量垂直,根据勾股定理:L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

∴ x1x2 + y1y2 = 0

②扩展到三维角度:x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直

综述,对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。

什么是向量

在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

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