三角函数万能公式有哪些
2018-09-22 15:51:26文/丁雪竹有很多的同学是非常的想知道,三角函数万能公式有哪些,小编整理了相关信息,希望会对大家有所帮助!
三角函数的万能公式
公式
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
万能三角函数公式
设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)
tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π k∈Z)
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.
三角函数中角的和差关系万能公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
三角函数之二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=(1―cosα)/sinα=sinα/1+cosα
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)*cos((α-β)/2)
sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)
cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
三角函数公式证明
在高中范围内可以考虑在单位圆中找相应的线段证明:(图自己画一下)
第一个:cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
把两角和的余弦cos(a+b)用a、b的三角函数表示,在直角坐标系xoy内作单位圆o,并作出角a,b与-b,使角a的始边为OX,交圆O于点P1,终边交圆O于点P2;角b的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-b的始边为OP1,终边交圆O于点P4。
这时点P1,P2,P3P4的坐标分别是:
P1(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+b),sin(a+b)),P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得: [cos(a+b)-1]^2+sin2(a+b) = [cos(-b)-cosa]2+[sin(-b)-sina]^2
展开并整理得: cos(a+b) = cosacosb- sinasinb
第二个:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,差不多的原理
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