面面垂直的判定定理

判定定理阐述：当一个平面包含另一平面的垂线时,这两个平面呈现相互垂直的状态。由此可得推论：其一,若一个平面的垂线与另一个平面平行,则这两个平面相互垂直；其二,如果两个平面的垂线相互垂直,那么这两个平面也互相垂直。（此推论可理解为法向量垂直的平面必然互相垂直）

面面垂直性质定理

首先,如果两个平面垂直,那么在一个平面内,任何垂直于两平面交线的直线都将与另一个平面垂直。

其次,若两个平面垂直,则在第一个平面内任选一点,向第二个平面所作的垂线,必定完全位于第一个平面内。

最后,当两个平面垂直时,除了它们的交线,这两个平面内的任意两条直线都将互相垂直。

面面垂直定理证明

证明过程如下：任意两个平面的位置关系要么是相交,要么是平行。假设平面a垂直于平面β,且垂足为点P,那么点P必然属于平面β。

由于直线a完全位于平面α内,且点P属于直线a,因此点P也属于平面α。

这意味着平面α和平面β有公共点P,所以平面α与平面β相交。

设平面α与平面β的交线为b,因为点P是平面α和平面β的公共点,所以点P也属于直线b。

在平面β内,通过点P作直线c垂直于直线b。

由于直线b完全位于平面β内,且直线a垂直于平面β,因此直线a也垂直于直线b,且垂足为点P。

同时,直线c也垂直于直线b,且垂足同样为点P。

因此,∠aPc构成了二面角α-b-β的平面角。

由于直线c完全位于平面β内,直线a垂直于直线c,即∠aPc等于90°。

根据面面垂直的定义,我们可以得出平面α垂直于平面β。