二次函数顶点坐标公式是什么

二次函数的顶点坐标公式为y=a(x-h)^2+k（其中a≠0,a、h、k均为常数）。下面,我们来详细探讨一下相关知识点。

二次函数顶点坐标公式及其推导

二次函数的顶点形式表示为：y=a(x-h)^2+k（a≠0,a、h、k为常数）,其顶点坐标为（h,k）。

推导步骤如下：

首先,从y=ax^2+bx+c开始,

然后,将式子改写为y=a(x^2+bx/a+c/a),

接着,进一步变形为y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2),

再化简得到y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a,

最终,得到y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a。

由此,对称轴为x=-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。

二次函数的其他形式

1. 一般式：

y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）,此时y为x的二次函数,顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。

2. 交点式：

函数图像与x轴交于两点,a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。

3. 两根式：

y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即ax^2+bx+c=0的两个根,a≠0。

二次函数的特性

1. 二次函数的图像是抛物线,但并非所有抛物线都是二次函数。只有开口向上或向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x=-b/2a。

2. 二次项系数a决定了抛物线的开口方向和宽度。当a>0时,抛物线开口向上；当a<0时,抛物线开口向下。|a|越大,抛物线的开口越窄；|a|越小,抛物线的开口越宽。

3. 一次项系数b和二次项系数a共同决定了对称轴的位置。当a与b同号（即ab>0）时,对称轴位于y轴左侧；当a与b异号（即ab<0）时,对称轴位于y轴右侧。